Theory Of Linear Operators-Ii

(i) समीकरण Tx – λx = y का समाधान समीकरण है :

(अ) Tx – λx = 0

(ब) Tx – λx ≠ 0

(स) T* f – λf = 0

(द) उपर्युक्त में से कोई नहीं

Homogeneous equation of the equation Tx – λx = y is :

(a) Tx – λx = 0

(b) Tx – λx ≠ 0

(c) T* f – λf = 0

(d) None of the above

(ii) "c[a, b] में एक परिबद्ध समकालिक अनुक्रम (τ_n) का एक उपअनुक्रम है जो अभिसारित होता है" को इस रूप में जाना जाता है :

(अ) लेग्रांजे प्रमेय

(ब) फ्रेडहोम वैकल्पिक प्रमेय

(स) कॉची प्रमेय

(द) एस्कोली प्रमेय

"A bounded equicontinuous sequence (τ_n) in c[a, b] has a subsequence which converges" is known as :

(a) Lagrange theorem

(b) Fredholm alternative theorem

(c) Cauchy theorem

(d) Ascoli's theorem

(iii) मान लीजिए T : H → H एक जटिल हिल्बर्ट स्पेस H पर एक परिबद्ध स्व-सहायक रैखिक ऑपरेटर है । तब T के आइगन मान हैं :

(अ) सभी काल्पनिक हैं

(ब) सभी वास्तविक हैं

(स) या तो सभी वास्तविक या सभी काल्पनिक

(द) सभी वास्तविक और काल्पनिक दोनों हैं

Let T : H → H be a bounded self-adjoint linear operator on a complex Hilbert space H. Then the eigen values of T are :

(a) All are imaginary

(b) All are real

(c) Either all real or all imaginary

(d) All real and imaginary both

(iv) हिल्बर्ट स्पेस H पर स्व-सहायक रैखिक ऑपरेटरों T_n का एक अनुक्रम (T_n) एक्सप्रेस घटता है यदि :

(अ) T₁ ≤ T₂ ≤ T₃ ≤ .......

(ब) T₁ ≥ T₂ ≥ T₃ ≥ .......

(स) दोनों (अ) और (ब)

(द) उपर्युक्त में से कोई नहीं

A sequence (T_n) of self-adjoint linear operators T_n on a Hilbert space H is monotone decreasing if :

(a) T₁ ≤ T₂ ≤ T₃ ≤ .......

(b) T₁ ≥ T₂ ≥ T₃ ≥ .......

(c) Both (a) and (b)

(d) None of the above

(v) हिल्बर्ट स्पेस H पर प्रक्षेपण P के लिए निम्न में से कौन सा सत्य है ?

(अ) P ≤ 0

(ब) || P || ≥ 1

(स) || P ||=1 यदि P(H) = {0}

(द) उपर्युक्त में से कोई नहीं

For any projection P on a Hilbert space H which of the following is true ?

(a) P ≤ 0

(b) || P || ≥ 1

(c) || P ||=1 if P(H) = {0}

(d) None of the above

2. मान लें कि T : X → X एक मानक स्पेस X पर एक कॉम्पैक्ट रैखिक ऑपरेटर है और λ ≠ 0, यदि T*f – λf = g का एक हल है और x ∈ X के लिए Tx – λx = 0 को संतुष्ट करता है, तो सिद्ध कीजिए कि g(x) = 0 ।

Let T : X → X be a compact linear operator on a normed space X and λ ≠ 0, if T*f – λf = g has a solution and for x ∈ X satisfies Tx – λx = 0, then prove that g(x) = 0.

अथवा (Or)

मानक स्पेस पर सहायक ऑपरेटर को परिभाषित कीजिए ।

Define adjoint operator on normed space.

3. फ्रेडहोम वैकल्पिक को परिभाषित कीजिए ।

Define Fredholm Alternative.

अथवा (Or)

मान लें कि T : X → X एक मानक समष्टि X पर एक कॉम्पैक्ट रैखिक ऑपरेटर है । तब सिद्ध कीजिए कि यदि T में शून्यतर वर्णक्रमीय मान है, तो उनमें से प्रत्येक T का एक आपन मूल्य होना चाहिए ।

Let T : X → X be a compact linear operator on a normed space X. Then prove that if T has non-zero spectral values, every one of them must be an eigen value of T.

4. मान लें कि T : H → H एक जटिल हिल्बर्ट स्पेस H पर एक बंधित स्व-सहायक रैखिक ऑपरेटर है । तो सिद्ध कीजिए कि T के (संख्यात्मक रूप से) विभिन्न आइगन वैल्यू के संगत आइगन वेक्टर ऑर्थोगोनल हैं ।

Let T : H → H be a bounded self-adjoint linear operator on a complex Hilbert space H. Then prove that eigen vectors corresponding to (numerically) different eigen values of T are orthogonal.

अथवा (Or)

दर्शाइए कि एक जटिल हिल्बर्ट स्पेस H ≠ {0} पर एक कॉम्पैक्ट स्व-सहायक रैखिक ऑपरेटर T : H → H का न्यूनतम आइगन मान होता है ।

Show that a compact self-adjoint linear operator T : H → H on a complex Hilbert space H ≠ {0} has at least one eigen value.

5. सकारात्मक ऑपरेटर को परिभाषित कीजिए और सिद्ध कीजिए कि दो सकारात्मक ऑपरेटरों का योग सकारात्मक होता है ।

Define positive operator and prove that sum of two positive operators is positive.

अथवा (Or)

मान लीजिए T : H → H एक जटिल हिल्बर्ट स्पेस पर एक परिबद्ध धनात्मक स्व-सहायक रैखिक ऑपरेटर है, T के धनात्मक वर्गमूल का उपयोग करते हुए, सिद्ध कीजिए कि सभी x, y ∈ H के लिए

Let T : H → H be a bounded positive self-adjoint linear operator on a complex Hilbert space, using the positive square root of T, prove that for all x, y ∈ H

6. मान लीजिए P₁ और P₂ हिल्बर्ट स्पेस H पर दो प्रक्षेपण हैं, यदि P₁ और P₂ कम्यूट करते हैं, तो सिद्ध कीजिए कि P₁P₂ एक प्रक्षेपण है ।

Let P₁ and P₂ be two projection on Hilbert space H, if P₁ and P₂ commute, then prove that P₁P₂ is a projection.

अथवा (Or)

मान लीजिए P₁ और P₂ हिल्बर्ट स्पेस H पर पारभाषिक प्रक्षेपण हैं, यदि ||P₁x|| ≤ ||P₂x|| तो सिद्ध कीजिए कि P₁ ≤ P₂ ।

Let P₁ and P₂ be projections defined on a Hilbert space H, if ||P₁x|| ≤ ||P₂x|| then prove that P₁ ≤ P₂.

7. मान लीजिए T : X → X एक बैनच स्पेस X पर एक कॉम्पैक्ट रैखिक ऑपरेटर है । तो सिद्ध कीजिए कि T का प्रत्येक स्पेक्ट्रल मान λ ≠ 0 (यदि यह मौजूद है) T का आइगन मान है ।

Let T : X → X be a compact linear operator on a Banach space X. Then prove that every spectral value λ ≠ 0 (if it exists) is an eigen value of T.

अथवा (Or)

मान लीजिए T : X → X एक मानक स्पेस X और λ ≠ 0 पर एक कॉम्पैक्ट रैखिक ऑपरेटर है । तो सिद्ध कीजिए कि [Tx – λx = y का हल है यदि और केवल यदि इस प्रकार है कि f(y) = 0 सभी f ∈ X* के लिए T*f – λf = 0 संतुष्ट करता है ।

Let T : X → X be a compact linear operator on a normed space X and λ ≠ 0. Then prove that Tx – λx = y has a solution if and only if f(y) = 0 for all f ∈ X* satisfying T*f – λf = 0.

8. मान लें कि T : X → X एक मानक स्थान X और λ ≠ 0 पर एक कॉम्पैक्ट रैखिक ऑपरेटर है । तो सिद्ध कीजिए कि T*f – λf = g का प्रत्येक g ∈ X* के लिए एक हल f है यदि और केवल यदि T*f – λf = 0 का केवल तुच्छ हल f = 0 है । इस मामले में T*f – λf = g का हल अद्वितीय है ।

Let T : X → X be a compact linear operator on a normed space X and λ ≠ 0. Then prove that T*f – λf = g has a solution f for every g ∈ X* if and only if T*f – λf = 0 has only the trivial solution f = 0. In this case the solution of T*f – λf = g is unique.

अथवा (Or)

मान लें कि T : X → X एक मानक समष्टि X और λ ≠ 0 पर एक कॉम्पैक्ट रैखिक ऑपरेटर है । तो सिद्ध कीजिए कि T_λ = T – λI फ्रेडहोम विकल्प को संतुष्ट करता है ।

Let T : X → X be a compact linear operator on a normed space X and λ ≠ 0. Then prove that T_λ = T – λI satisfies the Fredholm alternative.

9. सिद्ध कीजिए कि एक जटिल हिल्बर्ट स्पेस H पर एक परिबद्ध स्व-सहायक रैखिक ऑपरेटर T : H → H का स्पेक्ट्रम σ(T) वास्तविक है ।

Prove that the spectrum σ(T) of a bounded self-adjoint linear operator T : H → H on a complex Hilbert space H is real.

अथवा (Or)

मान लीजिए T : H → H एक जटिल हिल्बर्ट स्पेस H पर एक परिबद्ध स्व-सहायक रैखिक ऑपरेटर है तो सिद्ध कीजिए कि :

Let T : H → H be a bounded self-adjoint linear operator on a complex Hilbert space H. Then prove that :

10. यदि दो परिबद्ध स्व-सहायक रैखिक ऑपरेटर S और T हिल्बर्ट स्पेस H पर धनात्मक हैं और कम्यूट करते हैं, तो सिद्ध कीजिए कि उनका गुणनफल ST धनात्मक है ।

If two bounded self-adjoint linear operators S and T on a Hilbert space H are positive and commute, then prove that their product ST is positive.

अथवा (Or)

यदि S और T एक जटिल हिल्बर्ट स्पेस H और S²=T² पर धनात्मक परिबद्ध स्व-सहायक ऑपरेटर हैं, तो सिद्ध कीजिए कि S=T ।

If S and T are positive bounded self-adjoint linear operators on a complex Hilbert space H and S²=T², then show that S=T.

11. सिद्ध कीजिए कि हिल्बर्ट स्पेस H पर परिबद्ध रैखिक ऑपरेटर P : H → H एक प्रक्षेपण है यदि और केवल यदि P स्व-सहायक और एकरूप है ।

Prove that a bounded linear operator P : H → H on a Hilbert space H is a projection if and only if P is self-adjoint and idempotent.

अथवा (Or)

मान लीजिए P₁ और P₂ एक हिल्बर्ट स्पेस H पर प्रक्षेपण हैं । तो सिद्ध कीजिए कि अंतर P = P₂ – P₁ H पर एक प्रक्षेपण है यदि और केवल यदि Y₁ ⊂ Y₂, जहाँ Y_j = P_j(H) ।

Let P₁ and P₂ be projection on a Hilbert space H. Then prove that the difference P = P₂ – P₁ is a projection on H if and only if Y₁ ⊂ Y₂, where Y_j = P_j(H).